Nullen

Jede 0 am Ende einer Zahl bedeutet, dass die Primfaktorzerlegung eine 2 und eine 5 enthält (je eine für jede 0). Wie viele 2en und 5en sind in der Primfaktorzerlegung von 100! ?

Jede Zahl von 1 bis 100, die durch 5 teilbar ist, hat eine 5 in der Primfaktorzerlegung. Das sind 20 Zahlen. Welche Zahlen haben mehr als eine 5?

24. Eine Zahl hat eine 0 für jedes Paar aus einer 2 und einer 5 in ihrer Primfaktorzerlegung. 100! hat reichlich 2en in der Primfaktorzerlegung, mindestens 50 (für jede zweite Zahl), das ist kein begrenzender Faktor. Die 5en kommen in 100! wie folgt vor:
- Jede Zahl von 1 bis 100, die durch 5 teilbar ist, hat eine 5 in der Primfaktorzerlegung. Das sind 20 Zahlen.
- Jede Zahl von 1 bis 100, die durch 5^2 teilbar ist, hat eine weitere 5 in der Primfaktorzerlegung. Das sind 4 Zahlen.
- Keine Zahl zwischen 1 und 100 ist durch 5^3=125 teilbar.
Damit ergeben sich genau 24 5en in der Primfaktorzerlegung von 100! .