Achilles und die Schildkröte (Zenos Paradox)

Achilles kann doppelt so schnell laufen, wie eine Schildkröte. Nun machen beide einen Wettlauf. Achilles ist großzügig und gibt der Schildkröte einen Vorsprung von einem Kilometer.
Beide laufen los, doch als Achilles am Startpunkt der Schildkröte angekommen ist (bei 1km), ist diese schon 500m weiter (bei 1,5km). Als Achilles bei 1,5km angekommen ist, ist die Schildkröte schon weiter (bei 1,75km), usw.

Wird Achilles die Schildkröte jemals überholen? Und falls ja, wann?