Zahlen und Primzahlen
Aufgabe |
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9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876543, 98765432, 987654321, 9876543219, 98765432198, … Die jeweils nächste Zahl wird aus der vorherigen gebildet, indem man an deren letzte Ziffer eine davon um 1 kleinere Ziffer anhängt. Es gibt allerdings eine Ausnahme: Endet die vorherige Zahl mit einer 1, so wird für die nächste Zahl nicht eine 0, sondern eine 9 angehängt. Wie viele und welche Zahlen dieser Reihe sind Primzahlen? |
Tipp 1 |
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Hier helfen die Teilbarkeitsregeln. Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar? Wann durch 5? |
Tipp 2 |
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Alle Zahlen der Reihe sind durch 2, 3 oder 5 teilbar. Warum? |
Lösung |
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Die unendliche Reihe enthält keine einzige Primzahl, denn alle Zahlen sind entweder durch 2, 3 oder 5 teilbar. Alle geraden Zahlen scheiden aus, denn außer 2 gibt es keine weiteren geraden Primzahlen. Die Zahlen, die auf 5 enden, sind auch durch 5 teilbar und somit keine Primzahlen. Es bleiben noch die Zahlen, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, zu untersuchen übrig. Die vier kleinsten dieser Zahlen sind 9, 987, 9876543 und 987654321. Ihre Quersummen betragen 9, 24, 42 und 45. Da sie durch 3 teilbar sind, sind es die Zahlen selbst auch, und folglich können sie keine Primzahlen sein. Alle weiteren Zahlen die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, entstehen dadurch, dass man den Zahlen 9, 987, 9876543 und 987654321 die Ziffernfolge 987654321 ein- oder mehrfach voranstellt. Dadurch bleibt aber die Quersumme weiterhin durch 3 teilbar, und man erhält keine Primzahlen. |